Question

已知不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

，x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0的解集分别是A和B．问：“A⊆B”是“1≤a≤3，或a=-1”的充分条件吗？

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：计算题,不等式的解法及应用,集合,简易逻辑

分析：由题意解出不等式，从而得到集合A、B；从而由A⊆B可求出a的取值范围，从而确定“A⊆B”是“1≤a≤3，或a=-1”的充分条件．

解答： 解：解不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

得，
2a≤x≤a²+1，
故A={x|2a≤x≤a²+1}，
x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0可化为（x-2）（x-（3a+1））≤0；
①若3a+1=2，则a=

1

3

，此时A⊆B不成立；
②若3a+1＜2，即a＜

1

3

时，B={x|3a+1≤x≤2}，
则由A⊆B可得，3a+1≤2a≤a²+1≤2，
解得a=-1．
③若3a+1＞2，即a＞

1

3

时，B={x|2≤x≤3a+1}，
则由A⊆B可得，2≤2a≤a²+1≤3a+1，
解得1≤a≤3．
综上所述，
1≤a≤3或a=-1；
故：“A⊆B”是“1≤a≤3，或a=-1”的充分条件．

点评：本是考查了不等式的解法与集合的化简，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．