Question

已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（1）若函数y=f（x）有三个极值点，求t的取值范围；
（2）若f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值，且a+c=2b²，求f（x）的零点；
（3）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，试求正整数m的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，由此能求出t的取值范围．
（2）由已知得x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc，由此能求出f（x）的零点．
（3）不等式f（x）≤x等价于（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．设φ（x）=e^-x-x²+6x-3，则φ′（x）=-e^-x-2x+6．由此能求出使命题成立的正整数m的最大值为5．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
∴f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）
=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，
∵f（x）有3个极值点，∴x³-3x²-9x+t+3=0有3个不同的根，（2分）
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，则g′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
从而函数g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减．
∵g（x）有3个零点，∴

g(-1)＞0 g(3)＜0

，∴-8＜t＜24．（4分）
（2）∵a，b，c是f（x）的三个极值点
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）
=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc，（6分）
∴

a+b+c=3 ab+ac+bc=-9 t+3=-abc a+c=2b2

，∴b=1或b=-

3

2

（舍，∵b∈（-1，3））
∴

a=1-2 3 b=1 c=1+2 3

，
∴f（x）的零点分别为1-2

3

，1，1+2

3

．（10分）
（3）不等式f（x）≤x，等价于（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，
即t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e^-x-x²+6x-3在x∈[1，m]上恒成立．（12分）
设φ（x）=e^-x-x²+6x-3，则φ′（x）=-e^-x-2x+6．
设r（x）=φ′（x）=-e^-x-2x+6，则r′（x）=e^-x-2．
因为1≤x≤m，有r′（x）＜0．所以r（x）在区间[1，m]上是减函数．
又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=-3^-3＜0，
故存在x₀∈（2，3），使得r（x₀）=φ′（x₀）=0．
当1≤x＜x₀时，有φ′（x）＞0，当x＞x₀时，有φ′（x）＜0．
从而y=φ（x）在区间[1，x₀]上递增，在区间[x₀，+∞）上递减．
又φ（1）=e^-1+4＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0，
φ（4）=e^-4+5＞0，φ（5）=e^-5+2＞0，φ（6）=e^-6-3＜0．
所以，当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；
当x≥6时，恒有φ（x）＜0．
故使命题成立的正整数m的最大值为5．（16分）

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的零点的求法，考查正整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和等价转化思想的合理运用．