Question

5．函数f（x）的导函数为f′（x），对任意的x∈R都有3f′（x）＞f（x）成立，则（　　）

• A． 3f（3ln2）＞2f（3ln3）
• B． 3f（3ln2）与2f（3ln3）的大小不确定
• C． 3f（3ln2）=2f（3ln3）
• D． 3f（3ln2）＜2f（3ln3）

Answer 1

分析 根据选项可构造函数h（x）=$\frac{f（3lnx）}{x}$，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可比较h（2）与h（3）的大小，从而得到答案．

解答 解：令h（x）=$\frac{f（3lnx）}{x}$，则h′（x）=$\frac{3f′（3lnx）-f（3lnx）}{{x}^{2}}$，
因为对任意的x∈R都有3f′（x）＞f（x）成立，所以3f′（3lnx）＞f（3lnx），
所以h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以h（2）＜h（3），即$\frac{f（3ln2）}{2}$＜$\frac{f（3ln3）}{3}$，
所以3f（3ln2）＜2f（3ln3）．
故选D．

点评 本题考查了导数的运算法则，利用导数判断函数的单调性．合理构造函数是解决问题的关键．