Question

13．已知正四棱锥S-ABCD的底面边长和侧棱长都等于a．求：
（1）侧棱与底面所成的角；
（2）侧面与底面所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过S作SO⊥面ABCD，垂足为O，则∠SAO是侧棱与底面所成的角，根据三角形的边角关系进行求解．
（2）过O作OE⊥BC，交BC于E，连结SE，则∠SEO是侧面SBC与底面ABCD所成二面角的平面角，利用三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：如图所示，连接AC，BD，相交于点O，连接OS．
∵四棱锥S-ABCD是正四棱锥，
∴OS⊥底面ABCD．
∴∠SAO是侧棱与底面所成的角．
∵正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，
∴AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
在Rt△OAS中，cos∠SAO=$\frac{OA}{SA}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠SAO=$\frac{π}{4}$．
即侧棱与底面所成的角是$\frac{π}{4}$．
（2）过O作OE⊥BC，交BC于E，连结SE，
则由三垂线定理知：∠SEO是侧面SBC与底面ABCD所成二面角的平面角，
由题意知SE=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OE=$\frac{a}{2}$，
∴cos∠SEO=$\frac{OE}{SE}$=$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了正四棱锥的性质、线面角、二面角的计算，根据线面角和二面角的平面角的定义分别作出对应的角是解决本题的关键．考查了推理能力与计算能力．