题目内容

2．已知函数f（x）=2x3-3x2-f′（0）x+c（c∈R），其中 f′（0）为函数f（x）在x=0处的导数．
（Ⅰ）求函数f（x）的递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象关于（$\frac{1}{2}$，0）对称，求实数c的值．

分析 （Ⅰ）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象关于（$\frac{1}{2}$，0）对称，则将函数f（x）向左平移$\frac{1}{2}$后得到的函数为奇函数，根据奇函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）f′（x）=6x2-6x-f′（0），
令x=0得f′（0）=0-f′（0）⇒f′（0）=0，…（3分）
即f（x）=2x3-3x2-x+c，f′（x）=6x2-6x，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，
所以函数f（x）的递减区间为（0，1），…（6分）
（2）将函数f（x）向左平移$\frac{1}{2}$后得到函数为：$g（x）=2{（x-\frac{1}{2}）^3}-3{（x-\frac{1}{2}）^2}+c$，…（9分）
据题意知：函数g（x）为奇函数，即g（0）=0，
解得$c=\frac{1}{2}$．                                       …（12分）

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，以及函数奇偶性的应用，求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．

练习册系列答案
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