Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，{a_n}与{$\sqrt{S_n}$}均为公差为d（d≠0）的等差数列，则a₃的值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于a₁、d的方程，求出a₁=d²，再由{$\sqrt{S_n}$}为公差为d（d≠0）的等差数列列式求得a₁和d，则答案可求．

解答 解：∵{a_n}与{$\sqrt{S_n}$}均为公差为d（d≠0）的等差数列，
∴$\sqrt{{S}_{n}}=\sqrt{{S}_{1}}$+（n-1）d=$\sqrt{{a}_{1}}$+（n-1）d，又2a₂=a₁+a₃，
∴3a₂=S₃，即3（S₂-S₁）=S₃，
∴$3[（\sqrt{{a}_{1}}+d）^{2}-{a}_{1}]^{2}=（\sqrt{{a}_{1}}+2d）^{2}$，
化简得：${a}_{1}-2\sqrt{{a}_{1}}d+{d}^{2}=0$，即$\sqrt{{a}_{1}}=d$，
由$\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{{S}_{1}}+d$，
得$\sqrt{2{a}_{1}+d}=\sqrt{{a}_{1}}+d$，即$\sqrt{2{d}^{2}+d}=2d$，解得：d=$\frac{1}{2}$，
∴${a}_{1}=\frac{1}{4}$，
则${a}_{3}=\frac{1}{4}+2×\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和，考查探索、分析及论证的能力，属中档题．