Question

13．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F关于直线x+y=1的对称点仍在抛物线上，则p的值等于6$±4\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），设焦点F关于直线x+y=1的对称点为（a，b），由抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F关于直线x+y=1的对称点仍在抛物线上，利用中点坐标公式、直线的斜率公式、抛物线性质列出方程组，能求出p的值．

解答 解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
设焦点F关于直线x+y=1的对称点为（a，b），
∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F关于直线x+y=1的对称点仍在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a+\frac{p}{2}}{2}-\frac{p}{2}}=1}\\{\frac{a+\frac{p}{2}}{2}+\frac{b}{2}=1}\\{{b}^{2}=2pa}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1-\frac{p}{2}}\\{{b}^{2}=2p}\end{array}\right.$，∴（1-$\frac{p}{2}$）²=2p，
解得p=6$±4\sqrt{2}$．
故答案为：6$±4\sqrt{2}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查抛物线、中点坐标公式、直线的斜率公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．