Question

3．如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1km，BC=2km，现准备开发一个面积为0.6km²的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得△BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 由题意可得：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6 km²，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，求出A，B，C，D的坐标，运用待定系数法求出曲线AC的方程，欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设出切点（t，2t²），0≤t≤1，
求出导数，可得切线的斜率和方程，求出三角形BEF的面积，设f（t）=$\frac{1}{2}$t³-2t²+2t，0＜t≤1，求出导数和单调区间，可得极值，且为最值，即可判断是否满足要求．

解答 解：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6 km²，
以A为原点，AB所在直线为x轴，
AD所在直线为y轴，
建立如图所示平面直角坐标系，
则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），
设曲线AC所在的抛物线的方程为x²=2py（p＞0），
代入点C（1，2）得p=$\frac{1}{4}$，
得曲线AC的方程为y=2x²（0≤x≤1），
欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，
设切点为P（t，2t²），0≤t≤1，
由y=2x²得y′=4x，故点P（t，2t²）处切线的斜率为4t，
切线的方程为y-2t²=4t（x-t），
即y=4tx-2t²，
当t=0时显然不合题意，故0＜t≤1，
令x=1得y_P=4t-2t²，令y=0得x_K=$\frac{1}{2}$t，
则S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{t}{2}$）（4t-2t²）=$\frac{1}{2}$t³-2t²+2t，
设f（t）=$\frac{1}{2}$t³-2t²+2t，0＜t≤1，
则f′（t）=$\frac{1}{2}$（3t-2）（t-2），
令f′（t）＞0得0＜t＜$\frac{2}{3}$，令f′（t）＜0得$\frac{2}{3}$＜t≤1，
故f（t）在（0，$\frac{2}{3}$）上递增，在（$\frac{2}{3}$，1]上递减，
故f（t）_max=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{16}{27}$，
而$\frac{16}{27}$＜0.6，故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求．

点评 本题考查抛物线的应用，考查抛物线的方程的求法和运用，考查转化思想和导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．