Question

2．已知函数f（x）=cos2x+cos²x-4sinx．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 对f（x）进行化简，使用换元法转化成二次函数问题．

解答 解：f（x）=1-2sin²x+1-sin²x-4sinx=-3sin²x-4sinx+2．
（1）f（$\frac{π}{6}$）=-3×（$\frac{1}{2}$）²-4×$\frac{1}{2}$+2=-$\frac{3}{4}$．
（2）令sinx=t，则t∈[-1，1]，f（x）=g（t）=-3t²-4t+2=-3（t+$\frac{2}{3}$）²+$\frac{10}{3}$．
∴当t=-$\frac{2}{3}$时，g（t）取得最大值$\frac{10}{3}$，当t=1时，g（t）取得最小值-5．
∴f（x）的最大值是$\frac{10}{3}$，最小值是-5．

点评 本题考查了三角函数化简求值及换元法在函数中的应用，是基础题．