Question

14．已知f（x）=$\frac{sinx+cosx}{1+sinxcosx}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的定义域和值域求得t=sinx+cosx 的范围，再利用函数的单调性求得f（x）=$\frac{sinx+cosx}{1+sinxcosx}$=$\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$=g（t）的范围．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），则 t²=1+2sinxcosx，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，t∈[1，$\sqrt{2}$]．
∴f（x）=$\frac{sinx+cosx}{1+sinxcosx}$=$\frac{t}{1+\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$=$\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$=g（t）．
由于y=t+$\frac{1}{t}$在[1，$\sqrt{2}$]上单调递减，故$\frac{1}{t+\frac{1}{t}}$ 在[1，$\sqrt{2}$]上单调递增，
故 g（t）=$\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$ 在[1，$\sqrt{2}$]上单调递增，
故当t=1时，函数f（x）=g（t）取得最小值为1，当 t=$\sqrt{2}$时，函数f（x）=g（t）取得最大值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的单调性的应用，属于中档题．