Question

10．已知正三棱柱的底面边长为2$\sqrt{3}$，侧棱长为4，则该正三棱柱的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{64\sqrt{2}}{3}$π
• B． 32π
• C． $\frac{64\sqrt{3}}{3}$π
• D． $\frac{128}{3}$π

Answer 1

分析 根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到正三棱柱的外接球的体积．

解答 解：由正三棱柱的底面边长为2$\sqrt{3}$，
得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=2，
又由正三棱柱的高为4，则球心到圆O的球心距d=2，
根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：
R²=r²+d²=8，R=2$\sqrt{2}$，
∴外接球的表面积S=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{64\sqrt{2}}{3}$π．
故选：A．

点评 本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．