Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

cosB

cosC

=-

2b

3a+2c

．
（1）求cosB的值；
（2）若b=

5

，求a+c的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinA不为0求出cosB的值即可；
（2）利用余弦定理表示出cosB，把cosB的值代入并利用基本不等式求出a+c的最大值即可．

解答： 解：（1）由正弦定理化简

cosB

cosC

=-

2b

3a+2c

，得：

cosB

cosC

=-

2sinB

3sinA+2sinC

，
整理得：3sinAcosB+2cosBsinC=-2sinBcosC，
即3sinAcosB=-2sinBcosC-2cosBsinC=-2sin（B+C）=-2sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=-

2

3

；
（2）∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

(a+c)2-2ac-5

2ac

=-

2

3

，
∴（a+c）²=

2

3

ac+5≤

2

3

•（

a+c

2

）²+5=

1

6

（a+c）²+5（当且仅当a=c时取等号），
∴（a+c）²≤6，
∴a+c的最大值为

6

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．