Question

已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：建系，设C（m，0），B（-m，0），A（0，n），可得D（

m

2

，

n

2

），进而由题意可得BD²=（

3m

2

）²+（

n

2

）²=4，故三角形的面积S=mn=

4

3

•

3m

2

•

n

2

≤

4

3

•

( 3m 2 )2+( n 2 )2

2

=

8

3

，注意等号成立的条件即可．

解答： 解：以等腰三角形底边BC的中点为原点，建立如图所示的坐标系，
设C（m，0），则B（-m，0），A（0，n），
由中点坐标公式可得D（

m

2

，

n

2

），
由题意可得BD²=（

3m

2

）²+（

n

2

）²=4，
∴三角形的面积S=mn=

4

3

•

3m

2

•

n

2

≤

4

3

•

( 3m 2 )2+( n 2 )2

2

=

8

3

当且仅当

3m

2

=

n

2

即n=3m时取等号，
∴三角形的面积的最大值为

8

3

故答案为：

8

3

点评：本题考查基本不等式求最值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．