题目内容

10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）．
（1）化曲线C1的参数方程为普通方程，化曲线C2的极坐标方程为直角坐标方程；
（2）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}\right.$（t为参数）过曲线C1与y轴负半轴的交点，求与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程．

分析 （1）由曲线C1的参数方程消去参数θ，能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程转化为ρ2+6ρsinθ-8ρcosθ=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．
（2）由曲线C1的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，能求出曲线C1与y轴负半轴的交点，从而求出直线l的方程，设与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为3x-4y+m=0，利用点到直线的距离公式能求出与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程．

解答 解：（1）由曲线C1的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），
消去参数θ化为普通方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$；
由曲线C2的极坐标方程为ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）得ρ2+6ρsinθ-8ρcosθ=0，
化为直角坐标方程x2+y2+6y-8x=0，即（x-4）2+（y+3）2=25．
（2）由曲线C1的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，
令x=0得y=±3，∴曲线C1与y轴负半轴的交点为（0，-3），
∵直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}\right.$（t为参数）过点（0，-3），
∴$\left\{{\begin{array}{l}{0=2+t}\\{-3=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{t=-2}\\{λ=\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$，
∴直线l的方程为3x-4y-12=0．
设与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为3x-4y+m=0，
则圆心C2（4，-3）到直线l的距离d=r，即$\frac{|3×4-4×（-3）+m|}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=5$，
化为|m+24|=25，解得m=1或-49，
∴与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为3x-4y+1=0或3x-4y-49=0．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线方程的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化、圆的性质、直线与圆相切、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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