Question

给出下列命题：
①存在实数x，使sinx+cosx=

5

4

；
②若α，β 是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
③函数y=sin（

2

3

x+

π

2

）是偶函数；
④函数y=sin 2x的图象向左平移

π

4

单位，得到函数y=sin（2x+

π

4

）的图象．
其中正确命题的序号是

 

．（把正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：简易逻辑

分析：分析sinx+cosx的取值范围，可判断①；举出反例α=390°，β=30°，可判断②；利用诱导公式化简函数解析式，结合偶函数的定义，可以判断③；利用函数图象的平移变换法则，求出平移后的函数解析式，可判断④．

解答： 解：sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，而

5

4

∈[-

2

，

2

]，故①正确；
α=390°，β=30°，是第一象限角，且α＞β，则cosα=cosβ，故②错误；
③函数y=sin（

2

3

x+

π

2

）=cos

2

3

x，满足f（-x）=f（x）是偶函数，故③正确；
函数y=sin 2x的图象向左平移

π

4

单位，得到函数y=sin2（x+

π

4

）=sin（2x+

π

2

）的图象，故④错误．
故正确的命题有①③，
故答案为：①③

点评：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的值域，单调性，奇偶性是平移变换，是三角函数的综合应用，难度中档．