Question

【题目】设f（x）=log2（3-x）．

（1）若g（x）=f（2+x）+f（2-x），判断g（x）的奇偶性；

（2）记h（x）是y=f（3-x）的反函数，设A、B、C是函数h（x）图象上三个不同的点，它们的纵坐标依次是m、m+2、m+4且m≥1；试求△ABC面积的取值范围，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）偶函数（2）见解析

【解析】

（1）先求定义域，再用定义判断奇偶性； （2）用两个梯形减去一个梯形的面积列式SABC=SABED+SBCFE-SADFC，再构造关于m的函数求值域即可．

（1）由题意知g（x）=log2（1-x）+log2（1+x），函数g（x）的定义域为（-1，1），

又g（-x）=g（x），故为偶函数；

（2）由题意知h（x）=2x，则A（log2m，m），B（log2（m+2），m+2），C（log2（m+4），m+4）,过A，B，C分别作y轴的垂线，垂足依次为D，E，F，则

SADFC=log2[m2（m+4）2]，SABED=log2[m（m+4）]，SBCFE=log2[（m+2）（m+4）]，

∴SABC=SABED+SBCFE-SADFC=log2=log2（1+）

设φ（m）=1+（m≥1），

则φ（m）在[1，+∞）上单调递减，

∴φ（m）∈（1，]．

∴S△ABC∈（0，log2]