Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a+b=8，c=7，

CA

•

CB

=-

15

2

．
（1）求角C；
（2）若sin（α+C）=

1

3

（0＜α＜π），求sinα的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：平面向量及应用

分析：（1）△ABC中，由

CA

•

CB

=-

15

2

，c=7，结合余弦定理可得a²+b²=34，再由a+b=8，求得ab的值，可得cosC的值，从而求得C．
（2）由条件气的α+

2π

3

∈（

2π

3

，π），cos（α+C）=-

2 2

3

，再根据sinα=sin[（α+

2π

3

）-

2π

3

]利用两角差的正弦公式求得结果．

解答： 解：（1）△ABC中，∵

CA

•

CB

=ab•cosC=-

15

2

，c=7，
再由余弦定理可得 c²=49=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²+15，∴a²+b²=34，
再由a+b=8，∴ab=15，cosC=-

1

2

，C=

2π

3

．
（2）∵sin（α+C）=

1

3

（0＜α＜π），∴α+

2π

3

∈（

2π

3

，

5π

3

），∴α+

2π

3

∈（

2π

3

，π），
cos（α+C）=-

2 2

3

，
∴sinα=sin[（α+

2π

3

）-

2π

3

]=sin（α+

2π

3

）cos

2π

3

-cos（α+

2π

3

）sin

2π

3

 
=

1

3

(-

1

2

)-（-

2 2

3

）

3

2

=

2 6 -1

6

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦定理、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．