Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，求平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接A₁C，交AC₁于点E，连接DE，则DE∥A₁B，由此能证明A₁B∥平面ADC₁．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系A-xyz．利用向量法能求出平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接A₁C，交AC₁于点E，
则点E是A₁C及AC₁的中点．
连接DE，则DE∥A₁B．
因为DE?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），
C₁（0，1，2）D（

1

2

，

1

2

，0），

AD

=（

1

2

，

1

2

，0），

AC1

=（0，1，2）．…（6分）
设平面ADC₁的法向量

m

=（x，y，z），
则

1 2 x+ 1 2 y=0 y+2z=0

，不妨取

m

=（2，-2，1）．…（9分）
平面ABA₁的一个法向量

n

=

AC

=（0，1，0）．…（10分）
|cos＜

m

，

n

＞|=|

-2

3

|=

2

3

，
设平面ADC₁与ABA₁所成二面角的平面角为θ，
sinθ=

1-( 2 3 )2

=

5

3

．
∴平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值是

5

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．