Question

17．已知函数$f（x）=a{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+1（a＞0）$在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上有f（x）＞0恒成立，则a的取值范围为（　　）

• A． （0，2]
• B． [2，+∞）
• C． （0，5）
• D． （2，5]

Answer 1

分析 在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）＞0恒成立等价于在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）_min＞0，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=ax³-$\frac{3}{2}$x²+1，（x∈R，a＞0）
∴f′（x）=3ax²-3x，
由f′（x）=0，得x=0，或x=$\frac{1}{a}$，
①当$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{2}$，0＜a≤2时，
∵f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{8}$-$\frac{a}{8}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{8}$+$\frac{a}{8}$，f（0）=1，
∴在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）_min=$\frac{5}{8}$-$\frac{a}{8}$，
∵在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）_min=$\frac{5}{8}$-$\frac{a}{8}$＞0，解得a＜5，
∴0＜a≤2．
②当$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$，a＞2时，
∵f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{8}$-$\frac{a}{8}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{8}$+$\frac{a}{8}$，f（0）=1，f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{{2a}^{2}}$，
∴在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）_min=$\frac{5}{8}$-$\frac{a}{8}$，
∵在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）_min=$\frac{5}{8}$-$\frac{a}{8}$＞0，解得a＜5，
∴2＜a＜5．
综上所述，a的取值范围是（0，5），
故选：C．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．