Question

6．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，AC=AA₁=2$\sqrt{2}$，E为A₁C上一点，且A₁C=4EC，F为AC的中点．
（1）证明：A₁C⊥平面BEF；
（2）若平面A₁BC⊥平面A₁B₁BA，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BF，由AA₁⊥平面ABC得AA₁⊥BF，通过计算CF，CE可发现$\frac{CF}{{A}_{1}C}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，故△CEF∽△CAA₁，故∠CEF=∠CAA₁=90°，故A₁C⊥EF，于是A₁C⊥平面BEF；
（2）由面面垂直的性质可得BC⊥平面A₁B₁BA，于是AB⊥BC，求出底面积即可求出棱柱的体积．

解答 （1）证明连结BF，
∵AA₁⊥平面ABC，BF?平面ABC，
∴AA₁⊥BF，
∵AB=BC，F是AC的中点，
∴AC⊥BF，
又AC?平面A₁CA，A₁A?平面A₁CA，AC∩AA₁=A，
∴BF⊥平面A₁CA，∵A₁C?平面A₁CA，
∴BF⊥A₁C．
∵AC=A₁A=2$\sqrt{2}$，AC⊥A₁A，F是AC的中点，A₁C=4EC，
∴A₁C=4，CF=$\sqrt{2}$，CE=1．
∴$\frac{CF}{{A}_{1}C}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴△CEF∽△CAA₁，
∴A₁C⊥EF，又EF?平面BEF，BF?平面BEF，EF∩BF=F，
∴A₁C⊥平面BEF．
（2）∵平面A₁BC⊥平面A₁B₁BA，平面ABC⊥平面A₁B₁BA，平面ABC∩平面A₁BC=BC，
∴BC⊥平面A₁B₁BA，∵AB?平面A₁B₁BA，
∴BC⊥AB．又∵AC=2$\sqrt{2}$，AB=BC，
∴AB=BC=2．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=S_△ABC•AA₁=$\frac{1}{2}×{2}^{2}×2\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，棱柱的体积计算，属于中档题．