Question

【题目】已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且.

（I）求和的通项公式；

（II）设数列满足，求；

（III）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围．

Answer 1

【答案】（I），，；（II）；（III）．

【解析】

（1）设出公比和公差，将已知转化为，的方程组，解方程组，结合，即可得到和的通项公式；

（2）将要求的算式分组后，分别用等比数列的求和公式和错位相减法求和相加即可；

（3）将分离后，转化为在上恒成立，进而转化为求函数在上的最小值．

解：（1）设数列的公比为，数列的公差为，由题意，

由已知有，消去整理得：，

，解得，

，

数列的通项公式为，，

数列的通项公式为，；

（2），

，

令

令

令

；

（3）对任意正整数，不等式成立

即对任意正整数成立

记

则

，即递增

故，

．