Question

【题目】已知函数（，为常数）在内有两个极值点，（）

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

（1）推导出x＞0，f′（x）＝，设h（x）＝ex﹣1﹣ax，x＞0，则y＝h（x）在（0，2）上存在两个零点，由h′（x）＝ex﹣1﹣a，由此能求出实数a的取值范围；

（2）令H（x）＝h（x）﹣h（2+2lna﹣x），0＜x＜1+lna，则H′（x）＝h′（x）+h′（2+2lna﹣x）0，从而H（x）在（0，1+lna）上递增，进而H（x）＜H（1+lna）＝0，由此能证明＜2（1+lna）．

解：（1）由，可得，

记，有题意，知在上存在两个零点.

则

当时，，则在上递增，至少有一个零点，不合题意；

当时，由，得

（i）若且，即时，在上递减，递增；

则，则，

从而在和上各有一个零点。

所以在上存在两个零点.

（ii）若，即时，在上递减，至多一个零点，舍去.

（iii）若且，即时，此时在上有一个零点，而在上没有零点，舍去.

综上可得，.

（2）令则

，

，

，

所以，在上递减，从而，

即

而，且在递增；

，

.