Question

5．已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，
（1）求圆心和半径
（2）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）圆的标准方程为（x-1）²+（y+2）²=9，即可得到圆心和半径．
（2）利用l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，建立条件方程即可得到结论．

解答 解：（1）圆的标准方程为（x-1）²+（y+2）²=9，圆心C（1，-2），半径r=3；
（2）圆C化成标准方程为（x-1）²+（y+2）²=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．
∵CM⊥l，即k_CM•k_l=$\frac{b+2}{a-1}$×1=-1，
∴b=-a-1，
∴直线l的方程为y-b=x-a，即x-y-2a-1=0，
∴|CM|²=（$\frac{|1+2-2a-1|}{\sqrt{2}}$）²=2（1-a）²，
∴|MB|²=|CB|²-|CM|²=-2a²+4a+7，
∵|MB|=|OM|，
∴-2a²+4a+7=a²+b²，得a=-1或$\frac{3}{2}$，
当a=$\frac{3}{2}$时，b=-$\frac{5}{2}$，此时直线l的方程为x-y-4=0，
当a=-1时，b=0，此时直线l的方程为x-y+1=0，
故这样的直线l是存在的，方程为x-y-4=0或x-y+1=0．

点评 本题主要考查求圆的切线方程，直线和圆的位置关系应用，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．