Question

20．已知圆M：（x-1）²+（y-1）²=2，直线l：x+y+2=0上有一动点P，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点．
（1）求当∠APB最大时，△PAB的面积；
（2）试探究直线AB是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当|PM|最小时sinAPM最大，即∠APM最大，亦即∠APB最大，此时MP⊥l．
（2）在直线l：x+y+2=0上任取一点P（t，-t-2），以MP为直径的圆的方程为（x-1）（x-t）+（y-1）（y+t+2）=0，即x²+y²-（t+1）x+（t+1）y-2=0，求出过两圆x²+y²-（t+1）x+（t+1）y-2=0和x²+y²-2x-2y=0交点的直线AB的方程，即可得出结论．

解答 解：（1）如图，在直角三角形MPA中，$|AM|=\sqrt{2}$，∠APM是锐角，由$sinAPM=\frac{|AM|}{|PM|}=\frac{{\sqrt{2}}}{|PM|}$，当|PM|最小时sinAPM最大，即∠APM最大，亦即∠APB最大，此时MP⊥l．
当MP⊥l时，直线MP的方程为 y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y+2=0\end{array}\right.$得 x=y=-1，所以点P的坐标为P（-1，-1），直线AB通过以PM为直径的圆与圆M的交点
以PM为直径的圆的方程为 （x-1）（x+1）+（y-1）（y+1）=0，即x²+y²=2，
过圆x²+y²=2与圆（x-1）²+（y-1）²=2交点的直线AB的方程为：x+y-1=0
点M到直线AB的距离为$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，$|AB|=\sqrt{6}$，点P到AB的距离为$\frac{3}{{\sqrt{2}}}$，所以，△PAB的面积为 ${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{3}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．…（6分）
（2）在直线l：x+y+2=0上任取一点P（t，-t-2），以MP为直径的圆的方程为（x-1）（x-t）+（y-1）（y+t+2）=0，即x²+y²-（t+1）x+（t+1）y-2=0
过两圆x²+y²-（t+1）x+（t+1）y-2=0和x²+y²-2x-2y=0交点的直线AB的方程为（1-t）x+（t+3）y-2=0，即（y-x）t+x+3y-2=0，由$\left\{\begin{array}{l}y-x=0\\ x+3y-2=0\end{array}\right.$得$x=y=\frac{1}{2}$，所以，直线AB通过定点$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．…（6分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．