Question

α∈(0，

π

2

)，cos2α+2msinα-2m-2＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：已知不等式左边第一项利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后令sinα=t，t∈[-1，1]，利用二次函数的性质及根的判别式列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．

解答： 解：已知不等式变形得：1-sin²α-2msinα-2m-2＜0，
整理得：sin²α+2msinα+2m+1＞0，
令sinα=t，t∈[-1，1]，
得到t²+2mt+2m+1＞0恒成立，即△=4m²-4（2m+1）＜0，
整理得：（m-1）²＜2，
解得：-

2

+1＜m＜

2

+1，
则m的取值范围为（-

2

+1，

2

+1）．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．