Question

已知a1=0，an+1=

n+1

n

an+

1

n

，n∈N*，求an的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把数列递推式两边同时乘以

1

n+1

，得到

an+1

n+1

-

an

n

=

1

n(n+1)

，然后利用累加法求解．

解答： 解：由an+1=

n+1

n

an+

1

n

，得

an+1

n+1

=

an

n

+

1

n(n+1)

，即

an+1

n+1

-

an

n

=

1

n(n+1)

．
则

a2

2

-

a1

1

=

1

1×2

，

a3

3

-

a2

2

=

1

2×3

，

a4

4

-

a3

3

=

1

3×4

，
…

an

n

-

an-1

n-1

=

1

(n-1)n

 （n≥2）．
累加得：

an

n

-

a1

1

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

，
∵a₁=0，
∴an=n(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=n-1．
∴a_n=n-1．

点评：本题考查了数列递推式，训练了利用累加法求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．