Question

在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x²+9x+4=0的一个根，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：先由条件求得 cosC=-

1

2

，再由余弦定理可得 c²=（a-5）²+75，利用二次函数的性质求得c的最小值，即可求得△ABC周长a+b+c 的最小值．

解答： 解：解方程2x²+9x+4=0可得，
x=-4，或 x=-

1

2

．
∵cosC是方程2x²-3x-2=0的一个根，且|cosC|≤1，
∴cosC=-

1

2

．
由余弦定理可得
c²=a²+b²-2ab•cosC=（a+b）²-ab，
将b=10-a代入上式得，
∴c²=（a-5）²+75．
故当a=5时，c最小为

75

=5

3

，
故△ABC周长a+b+c 的最小值为 10+5

3

．

点评：本题主要考查一元二次方程的解法、二次函数的性质以及余弦定理的应用，属于中档题．