Question

15．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}2x+y-4≥0\\ x-y-1≤0\\ y≤3\end{array}\right.$，则z=x-3y的最大值是$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}2x+y-4≥0\\ x-y-1≤0\\ y≤3\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{5}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
化目标函数z=x-3y为y=$\frac{x}{3}-\frac{z}{3}$，
由图可知，当直线y=$\frac{x}{3}-\frac{z}{3}$过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为$-\frac{1}{3}$．
故答案为：$-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．