Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，

2Sn

n

=a_n+1-

1

3

n²-n-

2

3

，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

7

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用

2Sn

n

=a_n+1-

1

3

n²-n-

2

3

，代入计算，即可求a₂的值；
（2）再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）分类讨论，证明当n≥3时，n²＞（n-1）•（n+1），可得

1

n2

＜

1

(n-1)•(n+1)

，利用裂项法求和，可得结论．

解答： （1）解：∵

2Sn

n

=a_n+1-

1

3

n²-n-

2

3

，n∈N?．
∴当n=1时，2a₁=2S₁=a₂-

1

3

-1-

2

3

=a₂-2．
又a₁=1，∴a₂=4．
（2）解：∵

2Sn

n

=a_n+1-

1

3

n²-n-

2

3

，n∈N?．
∴2S_n=na_n+1-

1

3

n³-n²-

2

3

n
=na_n+1-

n(n+1)(n+2)

3

，①
∴当n≥2时，2S_n-1=（n-1）a_n-

(n-1)n(n+1)

3

，②
由①-②，得2S_n-2S_n-1=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∵2a_n=2S_n-2S_n-1，∴2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1，∴数列{a_n}是以首项为1，公差为1的等差数列．
∴

an

n

=1+1×（n-1）=n，∴a_n=n²（n≥2），
当n=1时，上式显然成立．∴a_n=n²，n∈N^*．
（3）证明：由（2）知，a_n=n²，n∈N^*，
①当n=1时，

1

a1

=1＜

7

4

，∴原不等式成立．
②当n=2时，

1

a1

+

1

a2

=1+

1

4

＜

7

4

，∴原不等式成立．
③当n≥3时，∵n²＞（n-1）•（n+1），
∴

1

n2

＜

1

(n-1)•(n+1)

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

(n-2)•n

+

1

(n-1)•(n+1)

=1+

1

2

（

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

）
=1+

1

2

（

3

2

-

1

n

-

1

n+1

）＜

7

4

，
∴当n≥3时，∴原不等式亦成立．
综上，对一切正整数n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

7

4

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．