Question

11．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用积化和差和和差化积公式将已知函数转化为正弦函数，由此来求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）利用（1）中的结果和正弦函数的单调性进行解答．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin²x-cos²x
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
由2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z得，x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴对称轴方程为x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z；
（2）∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，
∴$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}]$．
∵f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增，在区间[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上单调递减，
∴当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）_max=1．
又∵$f（-\frac{π}{6}）=-1＜f（\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}$，
∴当x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）_min=-1．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．