题目内容

16．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P使D1P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是0＜AD≤1；此时若AD取得最大值时，长方体外接球的表面积为9π．

分析 如图所示，假设棱AB上存在一点P，使得D1P⊥PC，连接DP，由DD1⊥底面ABCD，则必有CP⊥DP，因此只要以DC为直径的圆与线段AB有交点即可，求出长方体外接球的直径，可得半径，即可求出长方体外接球的表面积．

解答 解：如图所示，当0＜AD≤1时，以DC=2为直径的圆与AB 有交点P，连接CP，DP，则CP⊥DP．
∵DD1⊥底面ABCD，根据三垂线定理，则CP⊥D1P，满足题意．
AD=1时，长方体外接球的直径为$\sqrt{4+4+1}$=3，半径为$\frac{3}{2}$，
长方体外接球的表面积为$4π•\frac{9}{4}$=9π，
故答案为：0＜AD≤1，9π．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查长方体外接球的表面积，掌握三垂线定理及理解直径所对的圆周角是直角是解题的关键．

练习册系列答案
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4．如图所示，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE=3，圆O的直径CE为9．
（1）求证：CD⊥面AED；
（2）求三棱锥D-ABE的体积．
5．已知命题p：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a+2）{e}^{ax}，x＜0}\end{array}\right.$为R上的单调函数，则使命题p成立的一个充分不必要条件为（　　）
A．a∈（-1，0）B．a∈[-1，0）C．a∈（-2，0）D．a∈（-∞，-2）
4．下列说法正确的有②④ （填序号）
①命题“若x=$\frac{π}{6}$，则sinx=$\frac{1}{2}$”的逆命题为真命题
②在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B
③命题“?x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，都有x2+x+1＞0”
④函数f（x）=x-sinx在R上有且只有一个零点
⑤已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形中心角为1．
11．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最值．
1．求值：
（1）${8^{\frac{2}{3}}}-{（{0.5}）^{-3}}+{（{\frac{1}{{\sqrt{3}}}}）^{-2}}×{（{\frac{81}{16}}）^{-\frac{1}{4}}}$；
（2）$lg5•lg8000+{（{lg{2^{\sqrt{3}}}}）^2}+{e^{ln1}}+ln（{e\sqrt{e}}）$．
8．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{x-y≥-1}\\{2x-y≤3}\end{array}\right.$，则目标函数z=2x+3y的最大值（　　）
A．7B．8C．10D．23
5．下列四个条件中，能确定一个平面的条件是（　　）
A．空间任意三点B．空间两条直线
C．空间两条平行直线D．一条直线和一个点
6．函数y=ax-3+2（a＞0且a≠1）恒过定点（3，3）．

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