Question

6．设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2．
当n=1时，a₁=2a₁-2，得a₁=2；当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，
可得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
可知：数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故a_n=2ⁿ．
（2）na_n=n•2ⁿ，
由已知得：T_n=1×2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式与前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．