Question

已知f（x）是定义在（0，﹢∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

2

）=-1．
（1）求证：f（2）=1；
（2）求不等式f（x）-f（x-3）＞1的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，令令x=y=1，求得f（1）=0，再令x=2，y=

1

2

，求得f（2）的值等于1，问题得证，
（2）原不等式转化为f（x）＞f（x-3）+f（2）=f（2x-6），再根据函数f（x）是增函数，求得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
再令x=2，y=

1

2

，
则f（1）=f（2）+f（

1

2

），
∴f（2）=1，
（2）∵f（x）-f（x-3）＞1，
∴f（x）＞f（x-3）+f（2）=f（2x-6），
∵f（x）是定义在（0，﹢∞）上的增函数，
∴

x＞2x-6 x＞0 2x-6＞0

，
解得，3＜x＜6，
故不等式f（x）-f（x-3）＞1的解集为（3，6）．

点评：本题主要考查抽象函数所构造不等式的解法，一般来讲，这类不等式的解法利用函数的单调性定义求解，要注意利用主条件等价转化构造函数单调性模型，将函数值关系转化为自变量关系解决．