Question

（1）求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
（2）求证：a+

1

a-1

≥3（a＞1）
（3）已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式,不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由于（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，展开即可得出；
（2）由a＞1，变形a+

1

a-1

=（a-1）+

1

a-1

+1利用基本不等式即可证明．
（3）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答： （1）证明：∵（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，
∴2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ac），
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
（2）证明：∵a＞1，∴a-1＞0．
∴a+

1

a-1

=（a-1）+

1

a-1

+1≥2

(a-1)× 1 a-1

+1=3，当且仅当a=2时取等号．
（3）∵x＞0，y＞0，且x+2y=1，
∴

1

x

+

1

y

=（x+2y）(

1

x

+

1

y

)=3+

2y

x

+

x

y

≥3+2

2y x • x y

=3+2

2

，当且仅当x=

2

y=

2

-1时取等号．
∴

1

x

+

1

y

的最小值是3=2

2

．

点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于基础题．