Question

设函数f（x）=

lnx

x

．
（Ⅰ）若F（x）=

a

x

-f（x）（a∈R），求F（x）的极小值；
（Ⅱ）若G（x）=f（x）+mx在定义域内单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求F（x）的极小值；
（Ⅱ）G（x）=f（x）+mx在定义域内单调递增，

1-lnx

x2

+m≥0在（0，+∞）上单调递增，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵F（x）=

a

x

-f（x）=

a

x

-

lnx

x

，
∴F′（x）=

lnx-1-a

x2

=0，
∴x=e^1+a，
∴0＜x＜e^1+a时，F′（x）＜0；x＞e^1+a时，F′（x）＞0，
∴x=e^1+a时，F（x）的极小值为

1+a

e1+a

；
（Ⅱ）G（x）=

lnx

x

+mx，则G′（x）=

1-lnx

x2

+m，
∵G（x）=f（x）+mx在定义域内单调递增，
∴

1-lnx

x2

+m≥0在（0，+∞）上单调递增，
令y=

1-lnx

x2

，则y′=

-3+2lnx

x2

，
∴0＜x＜e

3

2

时，y′＜0；x＞e

3

2

时，y′＞0，
∴x=e

3

2

时，y_min=-

1

2e3

，
∴m≥

1

2e3

．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．