Question

已知函数f（x）=x（x-c）²（x∈R，c是实常数）在x=2处取极大值．
（1）求c的值；
（2）在曲线y=f（x）上是否存在点M，使经过点M的切线与曲线y=f（x）有且仅有一个公共点？若存在，求点M的坐标；若不存在，简要说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由于函数f（x）在x=2处取极大值．可得f′（2）=0，解得c=2或c=6，分类讨论：研究函数的单调性极值，即可得出；
（2）假设存在点M（a，a（a-6）²），使经过点M的切线与曲线y=f（x）有且仅有一个公共点，切线方程为y-a（a-6）²=3（a-2）（a-6）（x-a），设g（x）=f（x）-[a（a-6）²+3（a-2）（a-6）（x-a）]．切线与曲线y=f（x）有且仅有一个公共点，即函数g（x）有且仅有一个零点．利用导数研究其单调性、零点即可．

解答： 解：（1）f′（x）=（x-c）²+2x（x-c）=（x-c）（3x-c），
∵函数f（x）在x=2处取极大值．
∴f′（2）=（2-c）（6-c）=0，
解得c=2或c=6，c=2时，由f′（x）=0得x=2或x=

2

3

，

x	(-∞， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，2)	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

由表格可知：f（x）在x=2处取得极小值，不符合题意．
c=6时，由f′（x）=0得x=2或x=6，

x	（-∞，2）	2	（2，6）	6	（6，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

由表格可知：f（x）在x=2处取得极大值，∴c=6．
（2）由（1）知f（x）=x（x-6）²，f′（x）=3（x-2）（x-6），
假设存在点M（a，a（a-6）²），使经过点M的切线与曲线y=f（x）有且仅有一个公共点，
切线方程为y-a（a-6）²=3（a-2）（a-6）（x-a），
设g（x）=f（x）-[a（a-6）²+3（a-2）（a-6）（x-a）]，
切线与曲线y=f（x）有且仅有一个公共点，即函数g（x）有且仅有一个零点．
g′（x）=f′（x）-3（a-2）（a-6）=3（x-a）（x+a-8），
若a=4，则g′（x）=（x-4）²≥0，g（x）单调递增，有且仅有一个零点x=a．
若a＜4，类似（1）讨论知，g（x）在（a，8-a）单调递减，在（8-a，+∞）单调递增，
∴g（8-a）＜g（a）=0，从而g（x）在（8-a，+∞）有一个零点，
∴g（x）在定义域有两个零点．
同理，若a＞4，g（x）在定义域有两个零点．
综上所述：存在唯一一点M（4，16），经过点M的切线与曲线y=f（x）有且仅有一个公共点．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、导数的几何意义、切线方程，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．