Question

14．已知数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{an}{bn+1}$，且a₂=$\frac{6}{5}$，a₃=$\frac{9}{7}$．
（1）求a_n；
（2）求证：a_n＜a_n+1；
（3）求证：a_n∈[1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）由条件可得a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求数列的通项公式；
（2）作差整理，可得a_n-a_n+1＜0，即可得证；
（3）由数列{a_n}递增，可得a_n≥a₁，再由不等式的性质，可得$\frac{3n}{2n+1}$＜$\frac{3}{2}$．即可得证．

解答 解：（1）a_n=$\frac{an}{bn+1}$，且a₂=$\frac{6}{5}$，a₃=$\frac{9}{7}$，
可得$\frac{2a}{2b+1}$=$\frac{6}{5}$，$\frac{3a}{3b+1}$=$\frac{9}{7}$，
解得a=3，b=2，
即有a_n=$\frac{3n}{2n+1}$；
（2）证明：a_n-a_n+1=$\frac{3n}{2n+1}$-$\frac{3（n+1）}{2（n+1）+1}$
=$\frac{6{n}^{2}+9n-（6{n}^{2}+9n+3）}{（2n+1）（2n+3）}$=-$\frac{3}{（2n+1）（2n+3）}$＜0，
则a_n＜a_n+1；
（3）证明：由a_n＜a_n+1，可得数列{a_n}递增，
可得a_n≥a₁=1，
由a_n=$\frac{3n}{2n+1}$=$\frac{3}{2+\frac{1}{n}}$＜$\frac{3}{2}$．
可得a_n∈[1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查待定系数法求数列的通项公式，考查数列的单调性的判断和应用，以及化简整理的运算能力，属于基础题．