Question

2．设点F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过定点D（t，0）（|t|＜2）作直线l交曲线C于A、B两点，设O为坐标原点，若直线l与x轴垂直，求△OAB面积的最大值；
（3）设t=1，在x轴上，是否存在一点E，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E的坐标和这个常数，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，P的轨迹曲线C是椭圆，中心在原点，半长轴a=2，半焦距c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²．即可得出曲线C的方程．
（2）不妨设直线l：x=t与椭圆的交点为A（t，-y），B（t，y）（y＞0），把x=t代入椭圆方程可得：y=$\frac{1}{2}\sqrt{4-{t}^{2}}$，S_△OAB=$\frac{1}{2}$|t|$\sqrt{4-{t}^{2}}$，利用基本不等式的性质即可得出．
（3）设直线l与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可设直线l：x=λy+1，与椭圆方程联立化为（λ²+4）y²+2λy-3=0，△＞0，x₁=λy₁+1，x₂=λy₂+1．假设在x轴上，存在一点E（m，0），使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数，即k_AE•k_BE=s≠0．利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）由动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，P的轨迹曲线C是椭圆，
中心在原点，半长轴a=2，半焦距c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1．
∴曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）不妨设直线l：x=t与椭圆的交点为A（t，-y），B（t，y）（y＞0），
把x=t代入椭圆方程可得：y=$\frac{1}{2}\sqrt{4-{t}^{2}}$，
S_△OAB=$\frac{1}{2}$|t|$\sqrt{4-{t}^{2}}$≤$\frac{1}{2}×\frac{{t}^{2}+（4-{t}^{2}）}{2}$=1，
当且仅当|t|=$\sqrt{4-{t}^{2}}$，即t=$±\sqrt{2}$时取等号，此时D$（±\sqrt{2}，0）$，
综上可得：△OAB面积的最大值为1．
（3）设直线l与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可设直线l：x=λy+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=λy+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化为（λ²+4）y²+2λy-3=0，△=4λ²+12（λ²+4）＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-2λ}{{λ}^{2}+4}$，∴x₁•x₂=$\frac{-3}{{λ}^{2}+4}$，x₁=λy₁+1，x₂=λy₂+1．
假设在x轴上，存在一点E（m，0），
使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数，即k_AE•k_BE=s≠0．
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$$•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}-m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}$=s，
-3=s（m²-4）λ²+4s（m-1）²（m为常数，s是非零常数）．
要使得等式对λ恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}{s（{m}^{2}-4）=0}\\{-3=4s（m-1）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{s=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{s=-\frac{1}{12}}\end{array}\right.$．
即当定点E是椭圆的右顶点（2，0）时，非零常数s=-$\frac{3}{4}$．
当定点E是椭圆的左顶点（-2，0）时，非零常数s=-$\frac{1}{12}$．
综上可得：当定点E是椭圆的右顶点（2，0）时，非零常数s=-$\frac{3}{4}$．
当定点E是椭圆的左顶点（-2，0）时，非零常数s=-$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．