Question

15．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：

周需求量n	18	19	20	21	22
频数	1	2	3	3	1

以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （I）对n分类讨论，利用利润与周需求量的关系即可得出．
（II）利用频率估计概率，利用随机变量的分布列即可得出．

解答 解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n-20）=200n+6000，
当n≤19时，f（n）=500×n-100×（20-n）=600n-2000，
∴$f（n）=\left\{{\begin{array}{l}{200n+6000（n≥20）}\\{600n-2000\;\;\;（n≤19）}\end{array}}\right.（n∈N）$．
（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，
∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，
X的分布列为

X	8800	9400	10000	10200	10400
P	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．

点评 本题考查了利润与需求量的关系、频率估计概率、随机变量的分布列及其期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．