Question

在复平面上把方程x¹⁰=1的根对应的点的集合记为M，以M中的点为顶点的三角形中共有

 

个直角三角形．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义

专题：数系的扩充和复数

分析：由实系数一元n次方程虚根原理，得到方程x¹⁰=1的根在复平面内的分布情况，结合直径所对圆周角为直角可得答案．

解答： 解：由x¹⁰=1，
根据复数的三角形式，得x=cos

2kπ

10

+isin

2kπ

10

(k=0，1，…，9)，
∴方程x¹⁰=1的根对应的点均匀的分布在以原点为圆心，以1为半径的圆上，
以每两个关于原点对称的点为斜边可以得到8个直角三角形，10个点共有5对，
∴以M中的点为顶点的三角形中共有40个直角三角形．
故答案为：40．

点评：本题考查了实系数方程根的问题，考查了复数的三角形式，是中档题．