Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{3}{7}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{4{a}_{n}+1}$，n∈N⁺．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}是等比数列，并且求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）对已知等式取倒数，再减2，结合等比数列的定义和通项公式即可得到结论；
（2）求得$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ+2n，运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：由a₁=$\frac{3}{7}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{4{a}_{n}+1}$，n∈N⁺，
取倒数，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{4{a}_{n}+1}{3{a}_{n}}$=$\frac{1}{3{a}_{n}}$+$\frac{4}{3}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-2=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-2），
所以数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}是以$\frac{1}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{{3}^{n}}{2×{3}^{n}+1}$，n∈N^*；
（2）$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ+2n，
设T_n=1•（$\frac{1}{3}$）+2•（$\frac{1}{3}$）²+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=1•（$\frac{1}{3}$）²+2•（$\frac{1}{3}$）³+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
两式相减得$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
所以T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$，
又2+4+6+…+2n=n²+n，
所以前n项和S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$+n²+n．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，以及数列的求和方法：分组求和和错位相减法，考查构造数列法和作差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．