Question

已知f（x）=x²+bx+4满足f（1+x）=f（1-x），且g（x）=a^x（a＞0且a≠1）与y=log₃x互为反函数．
（1）求f（x），g（x）；
（2）y=f（g（x））-m在x∈（-1，2]上有零点，求m取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点,反函数

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知得-

b

2

=

1+x+1-x

2

=1，由此能求出f（x）=x²-2x+4．由g（x）=a^x（a＞0且a≠1）与y=log₃x互为反函数，能求出g（x）．
（2）y=f（g（x））-m=（3^x）²-2•3^x+4-m，由已知得[（3^-1）²-2•3^-1+4-m]•[（3²）²-2•3²+4-m]＜0，由此能求出m取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+bx+4满足f（1+x）=f（1-x），
∴-

b

2

=

1+x+1-x

2

=1，
解得b=-2，
∴f（x）=x²-2x+4．
∵g（x）=a^x（a＞0且a≠1）与y=log₃x互为反函数，
∴g（x）=3^x．
（2）y=f（g（x））-m
=f（3^x）-m
=（3^x）²-2•3^x+4-m，
∴y=（3^x）²-2•3^x+4-m在在x∈（-1，2]上有零点，
∴[（3^-1）²-2•3^-1+4-m]•[（3²）²-2•3²+4-m]＜0，
解得

31

9

＜m＜67．
∴m取值范围是（

31

9

，67）．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意函数性质的合理运用．