Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的对边长分别为a，b，c，a=$\frac{1}{2}$c+bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）若S_△ABC=$\sqrt{3}$，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知表达式，求出B的值即可．
（2）由（1）结论及三角形面积公式可求ac=4，利用余弦定理，基本不等式即可得解．

解答 解：（1）因为bcosC+$\frac{1}{2}$c=a．
由正弦定理可知：sinBcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinA，
可得：sinBcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinBcosC+cosBsinC，
因为：cosB=$\frac{1}{2}$，B为三角形内角，
所以：B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，S_△ABC=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac，
解得：ac=4，
∴由余弦定理可得：b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}$≥$\sqrt{2ac-ac}$=$\sqrt{ac}$=2，当且仅当a=b时等号成立．
∴b的最小值为2．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，考查了三角形的形状判断及计算能力、转化思想，属于中档题．