Question

已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于P、Q两点，且

PF

•

QF

=0，又点E（-1，0），求

EP

•

EQ

的最小值．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义，可求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知平面上动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，
∴点P满足抛物线定义，点P的轨迹为焦点在x轴正半轴的抛物线，p=2，
∴点P的轨迹方程为y²=4x．　
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．F（1，0）．
设直线PQ的方程为：my=x+n．
联立

my=x+n y2=4x

，化为y²-4my+4n=0．
∴△=16m²-16n＞0，即m²＞n．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4n．
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）-2n=4m²-2n，
x₁x₂=（my₁-n）（my₂-n）=m²y₁y₂-mn（y₁+y₂）+n²=n²．
∵

PF

•

QF

=0，
∴（1-x₁，-y₁）•（1-x₂，-y₂）=0，
∴（1-x₁）（1-x₂）+y₁y₂=0，
化为1-（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂=0，
∴1-4m²+2n+n²+4n=0，
∴4m²=n²+6n+1≥0，解得n≥2

2

-3或n≤-2

2

-3．
∴

EP

•

EQ

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=x₁x₂+x₁+x₂+1+y₁y₂=x₁x₂+x₁+x₂+1-x₁x₂+x₁+x₂-1=2（x₁+x₂）=8m²-4n
=2n²+8n+2
=2（n+2）²-6
≥2(2

2

-1)2-6=12-8

2

，当n=2

2

-3，m²=0时，取等号．
∴

EP

•

EQ

的最小值为12-8

2

．

点评：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、二次函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于难题．