Question

已知：函数f（x）=log₂

x-1

x+1

，g（x）=2ax+1-a，又h（x）=f（x）+g（x）．
（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）利用复合数的单调性证明函数的单调性，利用函数零点的判定定理求函数的零点；
（2）化简关于x的方程f（x）=log₂g（x）有两个不相等实数根为1-

2

x+1

=2ax+1-a在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；从而求解．

解答： 解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log₂

x-1

x+1

+2x，
=log₂（1-

2

x+1

）+2x；
∵y=1-

2

x+1

在（1，+∞）上是增函数，
故y=log₂（1-

2

x+1

）在（1，+∞）上是增函数；
又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数；
∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增；
同理可证，h（x）在（-∞，-1）上单调递增；
而h（1.1）=-log₂21+2.2＜0，
h（2）=-log₂3+4＞0；
故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，
同理可证h（x）在（-∞，-1）上有且仅有一个零点，
故函数h（x）有两个零点；
（2）由题意，关于x的方程f（x）=log₂g（x）有两个不相等实数根可化为
1-

2

x+1

=2ax+1-a在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；
故a=

2

(x+1)(1-2x)

；
结合函数a=

2

(x+1)(1-2x)

的图象可得，

2

2×(-1)

＜a＜0；
即-1＜a＜0．

点评：本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．