Question

11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点B（0，2），点$C（-\sqrt{3}，-1）$．
（1）求经过A，B，C三点的圆P的方程；
（2）过直线y=x-4上一点Q，作圆P的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求经过A，B，C三点的圆P的方程；
（2）求出以OQ为直径的圆的方程，与圆P的方程相减可得ax+（a-2）y-2=0，即a（x+y）-2y-2=0，即可证明结论．

解答 解：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
代入点的坐标可得$\left\{\begin{array}{l}{4+2D+F=0}\\{4+2E+F=0}\\{3+1-\sqrt{3}D-E+F=0}\end{array}\right.$，∴D=E=0，F=-4，
∴经过A，B，C三点的圆P的方程x²+y²=4；
（2）证明：设Q（2a，2a-4），则以OQ为直径的圆的方程为（x-a）²+（y-a+2）²=a²+（a-2）²，
与圆P的方程相减可得ax+（a-2）y-2=0，即a（x+y）-2y-2=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{-2y-2=0}\end{array}\right.$，∴x=1，y=-1，
∴直线AB恒过定点（1，-1）

点评 本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．