Question

20．下列函数既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（　　）

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=-|x+1|
• C． $f（x）=ln\frac{2-x}{2+x}$
• D． f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x），（a＞0，a≠1）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断即可．

解答 解：A．f（x）=sinx是奇函数，在区间[-1，1]上单调递增，不满足条件．
B．f（x）=-|x+1|关于x=-1对称不是奇函数，不满足条件．
C．f（-x）+f（x）=ln$\frac{2+x}{2-x}$+ln$\frac{2-x}{2+x}$=ln（$\frac{2+x}{2-x}$•$\frac{2-x}{2+x}$）=ln1=0，则f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，
f（x）=ln$\frac{2-x}{2+x}$=ln$\frac{4-（x+2）}{x+2}$=ln（-1+$\frac{4}{x+2}$），
则y=-1+$\frac{4}{x+2}$在-1≤x≤1上是减函数，则f（x）=ln（-1+$\frac{4}{x+2}$）在区间[-1，1]上是减函数，满足条件．
D．f（-x）=$\frac{1}{2}$（a^-x+a^x）=f（x），则函数f（x）是偶函数，不满足条件．
故选：C．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义以及函数的性质是解决本题的关键．