Question

18．已知a，b为常数，设f（x）=ax²+|x-b|+1．
（1）当a=0时，写出函数x的单调增区间和单调减区间；
（2）当a=1时，①试讨论函数f（x）的奇偶性；②求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=|x-b|+1，写出函数x的单调增区间和单调减区间；
（2）①可知f（-x）=x²+|x+b|+1，从而可知若函数为偶函数，则|x+b|=|x-b|，从而解得，说明b≠0时的情况即可；
②化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-b+\frac{3}{4}，x≥b}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+b+\frac{3}{4}，x＜b}\end{array}\right.$；从而分类讨论以确定函数的单调性，从而求最小值．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=|x-b|+1，函数的单调增区间（b，+∞）；单调减区间（-∞，b）；
（2）①∵f（x）=x²+|x-b|+1，
∴f（-x）=x²+|x+b|+1，
若函数为偶函数，
|x+b|=|x-b|，
解得，b=0；
当b≠0时，x²+|x-b|+1≠x²+|x+b|+1，
故函数为非奇非偶函数；
综上所述，当a=0时，函数为偶函数；
当a≠0时，函数为非奇非偶函数；
②f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-b+\frac{3}{4}，x≥b}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+b+\frac{3}{4}，x＜b}\end{array}\right.$；
当b＜-$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，b）上是减函数，故f（x）＞f（b）=b²+1；
在（b，-$\frac{1}{2}$）上是减函数，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数；
故f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上是减函数，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数；
故f（x）有最小值f（-$\frac{1}{2}$）=-b+$\frac{3}{4}$；
当-$\frac{1}{2}$≤b≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，b）上是减函数，在（b，+∞）上是增函数；
故f（x）有最小值f（b）=b²+1；
当b$＞\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是减函数，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数；
故f（x）有最小值f（$\frac{1}{2}$）=b+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了绝对值函数与分段函数的综合应用及分类讨论的思想应用，化简与判断都比较困难，属于中档题．