Question

从集合{1，2，3，…，n}的所有非空子集中等可能的取出一个．
（Ⅰ）记性质t：集合中所有元素之和为m（m＜n且m为偶数），求取出的是至多含有2个元素且满足性质t的非空子集的概率；
（Ⅱ）记所有取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（I）记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A，则基本事件数是2ⁿ-1个．分别对n分类讨论：当n=3时；当n=4时；当n=5时；当n=6时；当n=7时；当n=8时．可得：当n=2k-1或2k（k≥2）时，满足性质r的集合只有1+2+…+（k-1）=

k(k-1)

2

个．即可得出：取出的是至多含有2个元素且满足性质t的非空子集的概率．
（2）由题意知ξ的可能取值是1，2，…，n，基本事件的总数是2ⁿ-1个．ξ的分布列是：P（ξ=k）=

∁ k n

2n-1

，进而得出数学期望．

解答： 解：（I）记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A，则基本事件数是2ⁿ-1个．
当n=3时，{1，2，3}，其中满足性质r的集合只有一个{2}；
当n=4时，{1，2，3，4}，其中满足性质r的集合只有一个{2}；
当n=5时，{1，2，3，4，5}，其中满足性质r的集合只有3个{2}，{4}，{1，3}；
当n=6时，{1，2，3，4，5，6}，其中满足性质r的集合只有3个{2}，{4}，{1，3}；
当n=7时，{1，2，3，4，5，6，7}，其中满足性质r的集合只有6个{2}，{4}，{6}，{1，3}，{1，5}，
{2，4}；
当n=8时，{1，2，3，4，5，6，7，8}，其中满足性质r的集合只有6个{2}，{4}，{6}，{1，3}，{1，5}，
{2，4}．
…，由以上可得：当n=2k-1或2k（k≥2）时，满足性质r的集合只有1+2+…+（k-1）=

k(k-1)

2

个．
∴取出的是至多含有2个元素且满足性质t的非空子集的概率P=

k(k-1)

2(2n-1)

．
（2）由题意知ξ的可能取值是1，2，…，n，基本事件的总数是2ⁿ-1个．
ξ的分布列是：

ξ	1	2	…	n
p（ξ）	∁ 1 n 2n-1	∁ 2 n 2n-1	…	∁ n n 2n-1

其数学期望为E（ξ）=

∁ 1 n +2 ∁ 2 n +…+n ∁ n n

2n-1

=

n•2n-1

2n-1

．

点评：本题考查了集合的性质、组合数的计算公式及其性质、概率及其数学期望的计算方法，考查了推理能力、猜想能力与计算能力，属于难题．