Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1（x＞-1）}\\{{e}^{x}（x≤-1）}\end{array}\right.$，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a-2b的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{e}$-2]．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，设f（a）=f（b）=t，根据否定，转化为关于t的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
设f（a）=f（b）=t，
则0＜t≤$\frac{1}{e}$，
∵a＜b，∴a≤1，b＞-1，
则f（a）=e^a=t，f（b）=2b-1=t，
则a=lnt，b=$\frac{1}{2}$（t+1），
则a-2b=lnt-t-1，
设g（t）=lnt-t-1，0＜t≤$\frac{1}{e}$，
函数的导数g′（t）=$\frac{1}{t}$-1=$\frac{1-t}{t}$，
则当0＜t≤$\frac{1}{e}$时g′（t）＞0，
此时函数g（t）为增函数，
∴g（t）≤g（$\frac{1}{e}$）=ln$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{e}$-1=-$\frac{1}{e}$-2，
即实数a-2b的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{e}$-2]，
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{e}$-2]．

点评 本题主要考查分段函数的应用，涉及函数与方程的关系，利用换元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强．